La geometría y el Universo

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geometrias

La geometría determina la relación matemática entre las formas y el tamaño de los objetos; estudia las formas de figuras de dos, tres y más dimensiones utilizando ángulos, longuitudes de líneas y sus interrelaciones. Euclídes la desarrolló como Ciencia y estableció sus 5 axiomas fundamentales; de ellos, el 5º axioma afirma  que dada una recta y un punto exterior a ella solo se puede crear una recta paralela a la primera. A partir de las discrepancias en esta afirmación surgen otros tipos de geometrías.

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Siglos después en 1830 Lobacheski intentó demostrar este axioma y halló un nuevo tipo de geometría donde se podían trazar muchas líneas paralelas, la geometría hiperbólica. Así se tendría una geometría euclídea para espacios planos y una geometría hiperbolica para la deformación de este espacio plano (ejemplo, la silla de montar). Posteriormente se desarrollaron otras: la geometría esférica y la geometría diferencial, donde esta última hace uso del álgebra y el cálculo para poder expresar espacios multidimensionales, ya que visualmente es sumamente difícil o imposible.

 

Geometría diferencial

Fue la herramienta indispensable para poder desarrollar Einstein su teoría de la relatividad general. En ella  se proclama como la Gravedad es en sí una  curvatura del campo espacio-tiempo, por ello la densidad de materia y energía determinarán la forma de ella.

Geometría diferencial

La ecuación que relaciona la materia, la geometría y la energía es conocida como ecuación de campo y tiene la forma:

El primer término engloba la curvatura, el segundo la métrica, el tercero y el cuarto son el tensor energía-momento y la constante cosmológica relacionada con la energía, respectivamente.

El primer miembro describe la geometría del espacio-tiempo y en el segundo se tiene en cuenta la energía, la materia y el momento. De forma global la ecuación describe como la masa y la energía (segundo miembro) curvan el espacio-tiempo (primer miembro). Ahora solo queda por ver lageometría de esa deformación inducida.

 

Curvatura

Aplicando la ecuación de campo e introduciendo la geometría de Friedman en un universo donde la atracción gravitatoria frena la expansión y la constante cosmológica la incrementa, se obtiene una relación entre la densidad () y la curvatura (k) de la forma:

donde:

es la densidad crítica y es el valor de la velocidad de escape igual a la constante de Hubble.

Si es menor a 1, la densidad del universo es menor que la crítica, siendo la curvatura de este negativa. Para mayor que 1, la densidad es mayor y k tendrá una curvatura positiva. Conigual a cero se obtendrá curvatura cero.

La curvatura negativa daría una geometría hiperbólica, la positiva esférica y la nula euclídea.

Gráficamente la representación de esta geometría hiperbólica en 2D sería la silla de montar, la esférica en 2D concordaría con la superficie de una esfera y la euclídea en 2D sería un plano.

posibles curvaturas del universo

Forma del universo

Con los datos actuales que se tienen gracias a la radiación de fondo de microondas, se maneja que la densidad del universo es cercanamente igual a la densidad crítica por lo que el universo es casi perfectamente plano y por lo tanto de geometría euclídea.

Fondo de radiación microondas
Fondo de radiación microondas

Esta cercanía a la densidad crítica puede ser por arriba o por abajo y esta diferencia tiene consecuencias en el futuro del universo, pero esto quedará para otra entrada futura…

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3 comentarios en “La geometría y el Universo

  1. Este es un excelente artículo, como soy aficionado a las matemáticas, esto es un tesoro que guardaré para posterior investigación a fondo.
    Gracias

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