Cómo apilar bien pelotas, bolas, naranjas o incluso átomos

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Saber cual es la mejor forma de ordenar el mayor número de objetos esféricos utilizando el menor espacio posible siempre ha sido un tema recurrente a lo largo de los siglos. Naranjas de un tendero en la antigua Babilonia, balas de cañón en un barco en el caribe o átomos en una red cristalina son muy distintas varibles de un mismo problema, empaquetar eficientemente.

Nacida del más profundo sentido común y reflexión la solución se conoce de siempre: apilamiento en forma de pirámide. Veamos su explicación.

Partiendo de una dimensión (1D) la disposición única sería una fila de esferas en contacto.

bolas-x

En 2D habría dos posibilidades de colocar una segunda fila de esferas.

empaquetamiento-simple-y-compacto

A la izquierda cada esfera está en contacto con otras cuatro, siendo un empaquetamiento simple y a la derecha toca a seis esferas vecinas, siendo este el empaquetamiento compacto.

El grado de eficacia de cada empaquetamiento será la superficie ocupada del interior de la celda de lado “a” respecto al area total:

empaquetamiento-simple-y-compacto-sombra

-En el empaquetamiento izquierdo hay cuatro cuartos de bola que hacen el total de una bola en el interior de la celda.

-Área bola interior celda:

-Área total celda:  a2

-Área ocupada celda: 78’5%

Realizando el mismo tipo de cálculo para el empaquetamiento de la derecha el área ocupada y desocupada es la misma, pero esta distribuida en dos; además se puede comprobar a simple vista como éste es compacto.

Siguiendo ya solo con el tratamiento del empaquetamiento compacto, al pasar a las 3D se colocaría una segunda capa (verde, B) de esferas compactas sobre los huecos creados por la primera capa (roja, A), ocupándose la mitad de ellos.

3D

Colocándo una tercera capa de esferas compactas habría dos posibilidades distintas de acomodo ya que hay dos tipos de huecos. En una coincidirían con las bolas de la primera capa (roja, A), generando una ordenación ABA. En la otra no coincidiría con ninguna de las capas inferiores, dándose un apilamiento ABC.

La ordenación ABA se llama hexagonal compacta, con esta ordenación y cálculos iguales a los realizados a las 2D se llega a un 74% de ocupación, igual que en la ordenación ABC llamada cúbica compacta.

Así ya tenemos la razón por la que apilar de esta forma tan milenaria y eficaz.

apilamiento-compacto

La naturaleza es inteligente y ya antes que nosotros apilaramos naranjas, en metales como el Hierro, Aluminio, Plata tenían empaquetamientos cúbicos compactos y Titanio, Cobalto, hexagonales compactos.

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