La geometría y el Universo

La geometría determina la relación matemática entre las formas y el tamaño de los objetos; estudia las formas de figuras de dos, tres y más dimensiones utilizando ángulos, longuitudes de líneas y sus interrelaciones. Euclídes la desarrolló como Ciencia y estableció sus 5 axiomas fundamentales. El 5º  afirma qué; dada una recta y un punto exterior a ella solo existe una recta paralela a la primera. A partir de las discrepancias de esta afirmación surgen otros tipos de geometrías.

geometrias

Siglos después, en 1830, Lobacheski intentó demostrar este axioma hallando un nuevo tipo de geometría donde trazar muchas líneas paralelas; la llamada geometría hiperbólica. Así se tendría una geometría euclídea para espacios planos y una hiperbólica para su deformación (ejemplo, la silla de montar). Posteriormente se desarrollaron otras: la geometría esférica y la geometría diferencial; esta última usa el álgebra y el cálculo para poder expresar espacios multidimensionales, ya que gráficamente es sumamente difícil o imposible.

 

Geometría diferencial

Fue la herramienta indispensable para que Einstein pudiera desarrollar su teoría de la relatividad general. En ella se proclama como la Gravedad es una curvatura del campo espacio-tiempo. La densidad de materia y energía serían las que determinarían la forma de esa curva.

Geometría diferencial

La ecuación que relaciona la materia, la energía y la geometría es conocida como ecuación de campo:

El primer término engloba la curvatura, el segundo la métrica; el tercero y el cuarto son el tensor energía-momento y la constante cosmológica relacionada con la energía, respectivamente.

El primer miembro describe la geometría del espacio-tiempo y el segundo tiene en cuenta la energía, la materia y el momento. De forma global, la ecuación describe como la masa y la energía (segundo miembro) curvan el espacio-tiempo (primer miembro). Ahora solo queda por ver qué geometría tiene esa deformación inducida.

 

Curvatura

Aplicando la ecuación de campo e introduciendo la geometría de Friedman en un universo donde la atracción gravitatoria frena la expansión y la constante cosmológica la incrementa, se obtiene una relación entre la densidad () y la curvatura (k) de la forma:

donde:

es la densidad crítica y es el valor de la velocidad de escape igual a la constante de Hubble.

Si es menor a 1, la densidad del universo es menor que la crítica, siendo la curvatura de este negativa. Para mayor que 1, la densidad es mayor y k tendrá una curvatura positiva. Conigual a cero se obtendrá curvatura cero.

La curvatura negativa daría una geometría hiperbólica, la positiva esférica y la nula euclídea.

Gráficamente la representación hiperbólica en 2D sería la silla de montar, la esférica en 2D concordaría con la superficie de una esfera y la euclídea en 2D sería un plano.

posibles curvaturas del universo

 

Forma del universo

Con los datos actuales y gracias a la radiación de fondo de microondas, se maneja que la densidad del universo es cercana a la crítica; así el Universo sería casi plano y por lo tanto Euclídea.

Fondo de radiación microondas
Fondo de radiación microondas

Esta cercanía puede darse superiormente o inferiormente, y sea una u otra tienen diferentes consecuencias en el futuro del universo. Pero esto quedará para otra entrada futura… Click!!

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